Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極值，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值；
（3）當(dāng)a=-1時，關(guān)于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=1處取得極值，則f'（1）=0，求出a的值，然后驗證即可；
（2）先求出a的范圍，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，①當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時，②當(dāng)1＜

1

a

＜2，③當(dāng)

1

a

≥2，分類討論后，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值；
（3）研究函數(shù)是單調(diào)性得到函數(shù)的極值點，根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢，判斷何時方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，得到m所滿足的方程，解方程求解m．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），所以f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

．    …（2分）
因為當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極值，所以f′（1）=1-a=0，所以a=1．
經(jīng)檢驗，a=1符合題意．（不檢驗不扣分）      …（4分）
（2）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，x＞0．
令f′（x）=0得x=

1

a

．因為x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＞0，x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

1

a

）遞增，在（

1

a

，+∞）遞減，…（5分）
①當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時，f（x）取最大值f（1）=-a；
②當(dāng)1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時，f（x）在（1，

1

a

）上遞增，在（ 

1

a

，2）上遞減，
所以x=

1

a

時，f（x）取最大值f（

1

a

）=-lna-1；
③當(dāng)

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

時，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a．
綜上，①當(dāng)0＜a≤

1

2

時，f（x）最大值為ln2-2a；②當(dāng)

1

2

＜a＜1時，f（x）最大值為-lna-1；
③當(dāng)a≥1時，f（x）最大值為-a．     …（8分）
（每種情形1分）
（3）因為方程2mf（x）=x²有唯一實數(shù)解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數(shù)解，
設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，
則g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

，令g′（x）=0，x²-mx-m=0．
因為m＞0，x＞0，所以x₁=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x₂=

m+ m2+4m

2

，
當(dāng)x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)x=x₂時，g（x）取最小值g（x₂）．                …（10分）
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

x 2 2 -2mlnx2-2mx2=0 x 2 2 -mx2-m=0

所以2mlnx₂+mx₂-m=0，因為m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*），
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，因為當(dāng)x＞0時，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，即

m+ m2+4m

2

=1，
解得m=

1

2

．                           …（12分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是一道綜合題，有一定的難度，屬于中檔題．