Question

【題目】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的定點(diǎn)，且.

求拋物線的方程；

直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，,直線AB與切線l平行，設(shè)切點(diǎn)為N點(diǎn)，試問的面積是否是定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)M和F的坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)化得到，進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入拋物線可得到方程；（2）的中點(diǎn)為，聯(lián)立直線AB和拋物線方程，得到，聯(lián)立切線和拋物線得到切點(diǎn)的坐標(biāo)為，，進(jìn)而得到軸，，結(jié)合得到，.

設(shè)，由題知，

所以

所以即

代入中得，解得

所以拋物線的方程為

有題意知，直線的斜率存在，設(shè)其方程為

由消去，整理得

則

設(shè)的中點(diǎn)為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為

由條件設(shè)切線方程為

由消去，整理得

直線與拋物線相切，

.

切點(diǎn)的坐標(biāo)為，

軸，

又

的面積為定值，且定值為.