Question

已知函數，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導數，利用f′（2-x）=f′（x），可求b的值；利用曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，可求a，c，d的值，從而可得函數解析式；
（2）確定函數解析式，分類討論，可求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）求出函數h（x），再將不等式轉化為具體不等式，利用最值法，即可求得實數t的取值范圍．
解答：解：（1）求導數可得f′（x）=x²+2bx+c
∵f′（2-x）=f′（x），∴f′（x）關于x=1對稱，∴b=-1
與x軸交點處的切線為y=4x-12，設交點為（a，0），則f（a）=0，f′（a）=4
∴在（a，0）處的切線為：y=4（x-a）+0=4x-4a=4x-12，∴4a=12，∴a=3
由f'（3）=9-6+c=3+c=4得：c=1
由f（3）=×27-3²+3+d=0得：d=-3
所以有：²+x-3
（2）=x|x-1|
當x≥1時，g（x）=x（x-1）=x²-x=（x-）²-，函數為增函數
x＜1時，g（x）=-x²+x=-（x-）²+，最大為g（）=
比較g（m）=m（m-1）與得：m≥時，m（m-1）≥
因此，0＜m時，g（x）的最大值為m-m²；時，g（x）的最大值為；
m＞時，g（x）最大值為m²-m
（3）h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）²，x∈[0，1]時，h（x）=2ln（1-x）
∵對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立
∴2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）
∴0＜t-x＜-2x-1
∴x＜t＜-x-1
∵x∈[0，1]，
∴-1＜t＜0
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的解析式，考查函數的最值，考查恒成立問題，確定函數的解析式是關鍵．