Question

【題目】已知函數．

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區(qū)間；

（3）若存在，使得（是自然對數的底數），求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（3）.

【解析】

試題分析：（1）可得 ，又，得切線方程為；（2）求出，得增區(qū)間，得減區(qū)間；（3）存在，使得成立，等價于當時，，所以只要即可.

試題解析：（1）因為函數，

所以，

又因為，所以函數在點處的切線方程為．

（2）由（1），，

因為當時，總有在上是增函數．

又，所以不等式的解集為，

故函數的單調增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．

（3）因為存在，使得成立，

而當時，，

所以只要即可

又因為的變化情況如下表所示：

		0
		0
	減函數	極小值	增函數

所以在上是減函數，在上是增函數，所以當時，的最小值．

的最大值為和中的最大值．

因為，

令，因為，

所以在上是增函數，

而，故當時，，即；當時，，即．

所以，當時，，即，函數在上是增函數，解得；當時，，即，函數在上是減函數，解得．

綜上可知，所求的取值范圍為．