Question

已知函數(shù)為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）當時，證明恒成立；
（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）確定函數(shù)有最小值，所以恒成立.
（Ⅱ）實數(shù)的取值范圍是．

解析試題分析：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，
由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．
所以函數(shù)有最小值，所以恒成立.
（Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．
于是對任意成立等價于對任意成立．
由得．
①當時，．
此時在上單調(diào)遞增．
故，符合題意．
②當時，．
當變化時的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在上，．
依題意，，又．
綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．
考點：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式恒成立問題。
點評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。涉及不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，得到求證不等式。