已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)記為
的從小到大的第
個零點(diǎn),證明:對一切
,有
.
(1) 單調(diào)遞減區(qū)間為,
單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)詳見解析
解析試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)
,求
大于0和小于0的解集得到單調(diào)減區(qū)間和單調(diào)增區(qū)間,但是必須注意正余弦的周期性和原函數(shù)的定義域
.
(2)利用(1)問的結(jié)果可知函數(shù)在區(qū)間
上是單調(diào)遞減的,即
在區(qū)間
上至多一個零點(diǎn),根據(jù)正余弦的函數(shù)值可得
,再根據(jù)
在區(qū)間上
單調(diào)性和函數(shù)
在區(qū)間
端點(diǎn)處函數(shù)值異號可得函數(shù)
在區(qū)間
上有且只有一個零點(diǎn),即
,則依次討論
利用放縮法即可證明
.
數(shù)求導(dǎo)可得
,令
可得
,當(dāng)
時,
.此時
;
當(dāng)時,
,此時
,
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
,
單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)由(1)可知函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減,又
,所以
,
當(dāng)時,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1f/0/1omg64.png" style="vertical-align:middle;" />,且函數(shù)
的圖像是連續(xù)不斷的,所以
在區(qū)間
內(nèi)至少存在一個零點(diǎn),又
在區(qū)間
上是單調(diào)的,故
,因此,
當(dāng)時,
;
當(dāng)時,
;
當(dāng)時,
,
綜上所述,對一切的,
.
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性 放縮法 裂項(xiàng)求和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時
,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求
的極值;
(2)若在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中
.
(1)若曲線在點(diǎn)
處的切線方程為
,求函數(shù)
的解析式;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若對于任意的,不等式
在
上恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)。
(1)當(dāng)時,①求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;②求函數(shù)
的圖象在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)若函數(shù)既有極大值,又有極小值,且當(dāng)
時,
恒成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)=loga(ax2-x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)?如果存在,求出a的取值范圍;如果不存在,請說明理由.
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