Question

【題目】如圖，在空間四面體中， ⊥平面,,且．

（1）證明:平面⊥平面；

（2）求四面體體積的最大值，并求此時二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）,

【解析】

（1）由勾股定理可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可得面 ，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)，則，

由棱錐的體積公式求得棱錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)可得體積的最大值；以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求得平面與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

（1），

故 即

又

由、得

故有平面⊥平面

（2）設(shè)，則

四面體的體積

，故在單增，在單減

易知時四面體的體積最大，且最大值是

以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則

設(shè)平面的法向量為 則由

取，得平面的一個法向量為

同理可得平面的一個法向量

由于是銳二面角，故所求二面角的余弦值為