Question

【題目】如圖所示，四棱錐中，底面為正方形， 平面， ，點分別為的中點.

(1)求證： ；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明略；

（2）

【解析】（1）證法1：∵平面， 平面，∴．

又為正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………3分

∵平面，∴．

∵，∴．…………………………………………………………6分

證法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ．………4分

∵，∴．………6分

（2）解法1：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ，

， ，……………8分

設(shè)平面DFG的法向量為，

∵

令，得是平面的一個法向量．…………………………10分

設(shè)平面EFG的法向量為，

∵

令，得是平面的一個法向量．……………………………12分

∵．

設(shè)二面角的平面角為θ，則．

所以二面角的余弦值為．………………………………………14分

解法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，W

則， ， ， ， ，

， ， ．………………………………8分

過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．………………………………………………10分

再過作的垂線，垂足為，

∵三點共線，∴，

∵，∴，

即，解得．

∴．……………………………………………12分

∴．

∵與所成的角就是二面角的平面角，

所以二面角的余弦值為．………………………………………14分