Question

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)于恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)（2）詳見解析（3）1

【解析】

（1）利用奇偶性的定義判斷即可；

（2）利用單調(diào)性的定義判斷即可；

（3）利用函數(shù)性質(zhì)化抽象不等式為對(duì)恒成立，然后變量分離，轉(zhuǎn)求最值即可.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，

所以

所以函數(shù)為奇函數(shù).

（2）

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

證明如下：

任取，則

因?yàn)?/span>，所以，，所以

所以當(dāng)時(shí)，，，

所以，故函數(shù)在上是減函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)，，所以，

所以，故函數(shù)在上是增函數(shù).

（3）由（1）知，是奇函數(shù)，，即.

當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上是減函數(shù)，從而在上是減函數(shù)，故對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.

因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，所以的值域?yàn)?/span>.

所以，故實(shí)數(shù)的最大值為1.