Question

【題目】如圖，某野生保護(hù)區(qū)監(jiān)測(cè)中心設(shè)置在點(diǎn)處，正西、正東、正北處有三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，且，一名野生動(dòng)物觀察員在保護(hù)區(qū)遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)均收到求救信號(hào)，點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間比點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間早秒（注：信號(hào)每秒傳播千米）.

（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如題），根據(jù)題設(shè)條件求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；

（2）若已知點(diǎn)與點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間相同，求觀察員遇險(xiǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)，以及與檢測(cè)中心的距離；

（3）若點(diǎn)監(jiān)測(cè)點(diǎn)信號(hào)失靈，現(xiàn)立即以監(jiān)測(cè)點(diǎn)為圓心進(jìn)行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑至少是多少公里？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，其軌跡滿足雙曲線的定義，故直接寫出方程即可；

（2）垂直平分線與雙曲線的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn)；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值即可.

（1）設(shè)觀察員可能出現(xiàn)的位置的所在點(diǎn)為

因?yàn)?/span>點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間比點(diǎn)接收到信號(hào)的時(shí)間早秒

故

故點(diǎn)的坐標(biāo)滿足雙曲線的定義，設(shè)雙曲線方程為

由題可知，解得，

故點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）因?yàn)?/span>，設(shè)的垂直平分線方程為

則，則的垂直平分線方程為

聯(lián)立可得，故

故觀察員遇險(xiǎn)地點(diǎn)坐標(biāo)為

與檢測(cè)中心的距離為.

（3）設(shè)軌跡上一點(diǎn)為，

則

又因?yàn)?/span>，可得

代入可得：

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.

故掃描半徑至少是.