Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）討論在上的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先確定單調(diào)性，然后求導(dǎo)數(shù)，再通過討論的范圍，確定的符號，從而確定單調(diào)性.

（2）根據(jù)的單調(diào)性，分別討論當(dāng)時，在上的單調(diào)性，從而確定在區(qū)間兩端點的函數(shù)值符號以及最值的符號，結(jié)合零點存在性定理，即可判斷在上的零點個數(shù)情況.

解：（1）函數(shù)的定義域為..

當(dāng)時，即，，在上單調(diào)遞增，

∴在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）設(shè)，則由（1）知

①當(dāng)時，即，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減

，

∴當(dāng)，即，時，在上恒成立，

∴當(dāng)時，在內(nèi)無零點.

當(dāng)，即，時，，

根據(jù)零點存在性定理知，此時，在內(nèi)有零點，

∵在內(nèi)單調(diào)遞減，∴此時，在有一個零點.

②當(dāng)時，即，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，

，.

∴當(dāng)，即時，，根據(jù)零點存在性定理，此時，在內(nèi)有零點.

∵在內(nèi)單調(diào)遞增，∴此時，在有一個零點.

當(dāng)時，，∴此時，在無零點.

③當(dāng)時，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，；

則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

∴在上恒成立，∴此時，在內(nèi)無零點.

∴綜上所述：

當(dāng)時，在內(nèi)有1個零點；

當(dāng)時，在有一個零點；

當(dāng)時，在無零點.