Question

【題目】設(shè)數(shù)列共有項(xiàng)，記該數(shù)列前項(xiàng)，，…，中的最大項(xiàng)為，該數(shù)列后項(xiàng)，，…，中的最小項(xiàng)為，（1，2，3，…，）.

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，且滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，滿足，其中是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，使得對(duì)于任意給定的正整數(shù)，數(shù)列都是單調(diào)遞增的，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由單調(diào)遞增，可得，，即可得到；

（2）由題意可得，即，又因?yàn)?/span>，2，3，，，所以單調(diào)遞增，可得是公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；

（3）構(gòu)造，其中，，運(yùn)用新定義即可得證．

解：（1）因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，

所以，，

所以，；

（2）根據(jù)題意可知，，，

因?yàn)?/span>，所以，

可得，即，

又因?yàn)?/span>，2，3，，，所以單調(diào)遞增，

則，，所以，即，，

所以是公差為2的等差數(shù)列，，；

（3）構(gòu)造，其中，，

下證數(shù)列滿足題意．

證明：因?yàn)?/span>，所以數(shù)列單調(diào)遞增，

所以，，

所以，，

因?yàn)?/span>，

所以數(shù)列單調(diào)遞增，滿足題意．