Question

【題目】已知棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中點，點P是側(cè)面DCC1D1內(nèi)（包括邊界）的一個動點，且滿足∠APD＝∠MPC.則當三棱錐P﹣BCD的體積最大時，三棱錐P﹣BCD的外接球的表面積為_____.

Answer 1

【答案】21π

【解析】

由題意得三角形相似，再借助函數(shù)求最大值，求出的位置在棱上，且時三棱錐的體積最大，然后由三棱錐為一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，它的外接球的球心是過底面外接圓的圓心做垂直于底面的直線與中截面的交點，而底面為直角三角形，所以底面外接圓的圓心為斜邊的中點，且半徑為斜邊的一半，根據(jù)底面外接圓的半徑與球的半徑和三棱錐的高的一半構(gòu)成直角三角形，由題意求出外接球的半徑，求出外接球的表面積．

由題意得是的中點，點是側(cè)面內(nèi)（包括邊界）的一個動點，

且滿足

，，及．

設(shè)，，，，

化簡得，當時，，

所以點在上，且時三棱錐的體積最大，

這時底面外接圓圓心為斜邊的中點，球心為過垂直于底面的直線與中截面的交點，

則，底面半徑，設(shè)球的半徑，則，，

所以三棱錐的外接球的表面積為，

故答案為：．