Question

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，求函數的單調區(qū)間與極值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析: （1）利用導數的幾何意義:切線斜率等于,再根據點斜式求切線方程;(2)先明確函數的定義域,再求函數導數,研究導函數在定義域上的零點: 由，得,分類討論兩個零點的大小,再結合列表確定函數的單調區(qū)間與極值.

試題解析:（1）當時， ，此時，

所以

又因為切點為，所以切線方程

曲線在點處的切線方程為

（2）由于，

所以

由，得

(1)當時，則，易得在區(qū)間， 內為減函數，

在區(qū)間為增函數，故函數在處取得極小值

函數在處取得極大值

當時，則,易得在區(qū)間， 內為增函數，

在區(qū)間為減函數，故函數在處取得極小值；

函數 在處取得極大值

點睛:本題考查導數的幾何意義,屬于基礎題目. 函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率，過點P的切線方程為： .求函數y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線方程與求函數y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線方程意義不同，前者切線有且只有一條，且方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，后者可能不只一條．