【題目】對于正整數(shù)，如果個整數(shù)滿足，

且，則稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為.

(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;

(Ⅱ)對于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;

(Ⅲ)對所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號成立的的值.

(注:對于的兩個“正整數(shù)分拆”與，當且僅當且時，稱這兩個“正整數(shù)分拆”是相同的.)

【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，；(Ⅲ)證明見解析，，

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.

(Ⅱ)討論當為偶數(shù)時，最大為，當為奇數(shù)時，最大為，得到答案.

(Ⅲ) 討論當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故，當為偶數(shù)時，

根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得到，再計算，，得到答案.

(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.

(Ⅱ)當為偶數(shù)時，時，最大為；

當為奇數(shù)時，時，最大為；

綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時，最大為.

(Ⅲ)當為奇數(shù)時，，至少存在一個全為1的拆分，故；

當為偶數(shù)時，設(shè)是每個數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，

則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，

故.

綜上所述：.

當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；

當時，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，

故；

當時，對于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數(shù)分拆”，故.

綜上所述：使成立的為：或.

練習冊系列答案
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【題目】已知圓，點為直線上一動點，過點P引圓M的兩條切線，切點分別為A，B.

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（2）求四邊形PAMB面積的最小值.

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（1）若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求實數(shù)的取值范圍；

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（1）求圓心的軌跡的方程；

（2）過作斜率為的直線交曲線于，兩點，

①若，求直線的方程；

②過，兩點分別作曲線的切線，，求證：，的交點恒在一條定直線上.

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【題目】某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試,現(xiàn)從中隨機抽取40名學生的測試成績，整理數(shù)據(jù)并按分數(shù)段進行分組,假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,則得到體育成績的折線圖（如下）:

（Ⅰ）體育成績大于或等于70分的學生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級有1000名學生,試估計高一全年級中“體育良好”的學生人數(shù);

（Ⅱ）為分析學生平時的體育活動情況,現(xiàn)從體育成績在和的樣本學生中隨機抽取2人,求在抽取的2名學生中,至少有1人體育成績在的概率;

（Ⅲ）假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為且分別在三組中,其中當數(shù)據(jù)的方差最小時,寫出的值.（結(jié)論不要求證明）

（注: ,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

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【題目】在四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，，且，，．

（I）求證：；

（II）求二面角_____的余弦值；

從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

（III）若是棱的中點，求證：對于棱上任意一點，與都不平行．

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【題目】設(shè)為實數(shù)，給出命題，；命題：函數(shù)的值域為．

（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若為真，為假，求實數(shù)的取值范圍．

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