Question

．（本小題滿分13分）
已知數(shù)列中，，，其前項和為，且當時，．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）令，記數(shù)列的前項和為，證明對于任意的正整數(shù)，都有成立．

Answer 1

（Ⅰ）證明：當時，,
所以．
又由，可推知對一切正整數(shù)均有，
∴數(shù)列是等比數(shù)列．                                    ……… 4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比數(shù)列的首項為1，公比為4，  
∴．當時，，又，
∴                                 ………７分
（Ⅲ）證明：當時，，此時
，
又，
∴．                      ………９分
，
當時，＝

．                                  ……… 12分
又因為對任意的正整數(shù)都有所以單調(diào)遞增，即，
所以對于任意的正整數(shù)，都有成立．　　　……… 1３分

略