Question

【題目】若存在常數，使得無窮數列滿足，則稱數列為“Γ數列．已知數列為“Γ數列”．

（1）若數列中，，試求的值；

（2）若數列中，，記數列的前n項和為，若不等式對恒成立，求實數λ的取值范圍；

（3）若為等比數列，且首項為b，試寫出所有滿足條件的，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）滿足條件數列的通項公式為：或，詳見解析

【解析】

（1）直接利用信息求出數列的項．

（2）利用恒成立問題和函數的單調性，求出λ的取值范圍．

（3）直接利用分類討論思想求出數列的通項公式．

（1）數列為“Γ數列”中，，

所以：當時，時，，

又，即：，

，．

（2）因為數列是“Γ數列”，且，所以：，

則：數列前4n項中的項b4n-3是以2為首項，6為公差的等差數列．

易知{b4n}的項后按原來的順序構成一個首項為4，公差為2的等差數列．

所以：

，

．

由于不等式對恒成立，

所以：，

設，

則：，

所以：

當時，，

當時，，

所以：

所以的最大值為．

即．

（3）為等比數列，設數列的公比，

由等比數列的通項公式：，

當時，，

即：，

①，則，故：．

②當時，則：，

所以為常數，則，k為偶數時，

經檢驗，滿足條件數列的通項公式為：或．