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【題目】已知橢圓： 的離心率與雙曲線： 的離心率互為倒數，且經過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖，已知是橢圓上的兩個點，線段的中垂線的斜率為且與交于點， 為坐標原點，求證： 三點共線．

【答案】(1) ；(2)見解析.

【解析】試題分析：(1)由二者離心率互為倒數以及橢圓經過點，建立關于a，b，c的方程組從而得到橢圓的標準方程；（2）因為線段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為，線段所在直線的方程為，聯立方程可得，利用韋達定理得到弦的中點的坐標，所以，所以點在定直線上，而兩點也在定直線上，所以三點共線．

試題解析：

（1）因為雙曲線： 的離心率，

而橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，所以橢圓的離心率為，

設橢圓的半焦距為，則.①

又橢圓經過點，所以.②

，③

聯立①②③，解得.

所以橢圓的標準方程為.

（2）因為線段線段的中垂線的斜率為，所以線段所在直線的斜率為.

所以可設線段所在直線的方程為，

設點，

聯立，消去，并整理得，

顯然.

所以

，

則

因為，所以，

所以點在定直線上，而兩點也在定直線上，所以三點共線．

練習冊系列答案
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【題目】已知函數 ．
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【題目】已知函數 ，則函數 的定義域為（ ）
A.[0，+∞）
B.[0，16]
C.[0，4]
D.[0，2]

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（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
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【題目】已知 ， ．
（1）求f（x）的解析式及定義域；
（2）求f（x）的值域；
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①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；
②存在區(qū)間[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數．
（1）求閉函數y=﹣x3符合條件②的區(qū)間[a，b]
（2）判斷函數f（x）= 是否為閉函數？并說明理由；
（3）若y=k+ 是閉函數，求實數k的范圍．

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