試題分析:本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的點乘、平面內(nèi)兩點間距離公式、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,利用兩個點關(guān)于直線對稱,列出方程組,解出

,即得到圓心坐標(biāo),再利用點到直線的距離求半徑,寫出圓的方程,利用向量的點乘列出式子,數(shù)形結(jié)合找出最小值;第二問,利用直線與圓的位置關(guān)系列出方程,得出

兩點的橫坐標(biāo),利用斜率公式寫出式子,判斷兩個斜率是否相等.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)圓心

,則

中點坐標(biāo)為

, 1分
∵圓心

與點

關(guān)于直線

對稱,
∴

,解得

, 3分
∴圓心

到直線

的距離

, 4分
∴求圓

的方程為

. 5分
設(shè)

,則

,
∴

, 6分
作直線

:

,向下平移此直線,當(dāng)與圓

相切時

取得最小值,這時切點坐標(biāo)為

,
所以

·

的最小值為-4. 8分
(Ⅱ)由題意知,直線

和直線

的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè)

:

,

:

,由

,得

.
因為點

的橫坐標(biāo)

一定是該方程的解,故可得

,同理,

,
則


.
所以,直線

和

一定平行. 14分