Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，試討論單調(diào)性；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)；（2）.

【解析】

試題（1）先求出的導(dǎo)數(shù)，，然后在的范圍內(nèi)討論的大小以確定和的解集；（2）時(shí)，代入結(jié)合上問可知函數(shù)在在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，即在取最小值，若，存在，使，即存在使得.從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.注意不能用基本不等式，因?yàn)?/span>等號(hào)取不到，實(shí)際上為減函數(shù).所以其值域?yàn)?/span>，從而，即有.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，所以，

令，可得，，2分

①當(dāng)時(shí)，由可得，故此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù).

同樣可得在和上是減函數(shù). 4分

②當(dāng)時(shí)，恒成立，故此時(shí)函數(shù)在上是減函數(shù). 6分

③當(dāng)時(shí)，由可得，故此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù)，

在和上是減函數(shù)； 8分

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以對任意的，有，

由條件存在，使，所以， 12分

即存在，使得，

即在時(shí)有解,

亦即在時(shí)有解,

由于為減函數(shù)，故其值域?yàn)?/span>，

從而，即有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 16分