Question

【題目】已知函數

(1)若在區(qū)間上單調遞增，求實數的取值范圍；

(2)若在區(qū)間上，函數的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1).

(2).

【解析】分析：(1)在區(qū)間上單調遞增，則在區(qū)間上恒成立，即，而當時，，故，從而可得結果；(2) 令，在區(qū)間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立，利用導數研究函數的單調性，利用單調性求得函數的最大值，可證明時不合題意， 當時，只需，從而可得結果.

詳解：(1)在區(qū)間上單調遞增，

則在區(qū)間上恒成立.

即，而當時，，故.

所以.

(2)令，定義域為.

在區(qū)間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.

①若，令，得極值點，

當，即時，在上有，此時在區(qū)間上是增函數，并且在區(qū)間上有，不合題意；

當，即時，同理可知，在區(qū)間上遞增，

有，也不合題意；

②若，則有，此時在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，由此求得的范圍是.

綜合①②可知，當時，函數的圖象恒在直線下方.