Question

【題目】已知函數f（x）= +x在x=1處的切線方程為2x﹣y+b=0．
（1）求實數a，b的值；
（2）設函數g（x）=f（x）+ x2﹣kx，且g（x）在其定義域上存在單調遞減區(qū)間（即g′（x）＜0在其定義域上有解），求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= +x，

∴f′（x）= +1，

∵f（x）= +x在x=1處的切線方程為2x﹣y+b=0，

∴ +1=2，2﹣1+b=0，

∴a=1，b=﹣1；

（2）解：f（x）=lnx+x，g（x）= x2﹣kx+lnx+x，

∴g′（x）=x﹣k+ +1，

∵g（x）在其定義域上存在單調遞減區(qū)間，

∴g′（x）＜0在其定義域上有解，

∴x﹣k+ +1＜0在其定義域上有解，

∴k＞x+ +1在其定義域上有解，

∴k＞3．

【解析】（1）求導數，利用函數f（x）= +x在x=1處的切線方程為2x﹣y+b=0，建立方程組求實數a，b的值；（2）g（x）在其定義域上存在單調遞減區(qū)間，即g′（x）＜0在其定義域上有解，分離參數求最值，即可求實數k的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減)．