Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值；

（Ⅲ）若，，且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，再利用，可求出的值；（Ⅱ）求出的表達(dá)式，再分別對(duì)兩種進(jìn)行討論，可得到函數(shù)的極值；（Ⅲ）函數(shù)恒成立問題，兩種思路，一種是，另一種是用參變分離的方法求解.

試題解析：（Ⅰ），∴.

函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為∴.

（Ⅱ）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

.

當(dāng)時(shí)，，，為增函數(shù)，，為減函數(shù)，所以，.

當(dāng)時(shí)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以，.

（Ⅲ）“對(duì)任意的，恒成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，成立”，當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以的最小值為，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，顯然不滿足，

當(dāng)時(shí)，令得，，，

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，在上，所以在單調(diào)遞增，所以，只需，得，所以.

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，在，，單調(diào)遞增，在，，單調(diào)遞減，所以，

只需，得，所以.

（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，顯然在上，單調(diào)遞增，，不成立，

綜上所述，的取值范圍是.

（用分離參數(shù)做答酌情給分）