Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，，分別是，的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形后即可得，再根據(jù)線面平行的判定即可得證；

（Ⅱ）由等腰三角形的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得、，則可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定即可得證；

（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系后，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量為，，利用即可得解.

（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以，且，

在三棱柱中，

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，且，

所以且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

又平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）證明：因?yàn)?/span>，且是的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以，

又 ，，平面，所以平面，

又，所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（Ⅲ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則即，

令，則.

設(shè)直線與平面所成角為，

則.

即直線與平面所成角的正弦值為.