【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)，f′(x)是其導(dǎo)函數(shù)且滿足f(x)+f′(x)>2，f(1)=2，則不等式exf(x)>4+2ex的解集為_____

【答案】(1，+∞)

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)﹣2ex，可結(jié)合題設(shè)證明g'(x)=ex[f(x)+f'(x)﹣2]>0，即g(x)是R上的增函數(shù)，又f(1)=2，即g(x)>g(1)，即得解.

設(shè)g(x)=exf(x)﹣2ex，

則g'(x)=exf(x)+exf'(x)﹣2ex=ex[f(x)+f'(x)﹣2]，

∵f(x)+f'(x)>2，ex>0，

∴g'(x)=ex[f(x)+f'(x)﹣2]>0，

∴g(x)是R上的增函數(shù)，

又∵f(1)=2，

∴g(1)=ef(1)﹣2e=2e+4﹣2e=4，

∴不等式exf(x)>4+2ex等價(jià)于不等式exf(x)﹣2ex>4；

即g(x)>g(1)；

∴x>1，

∴不等式exf(x)>4+2ex的解集為(1，+∞)

故答案為：(1，+∞)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在銳角中，角的對(duì)邊分別為，.

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，也請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，其中，是的一個(gè)極值點(diǎn)，且.

（1）討論的單調(diào)性

（2）求實(shí)數(shù)和a的值

（3）證明

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上一點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于軸，過橢圓上一點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（均不在坐標(biāo)軸上），設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的射線與橢圓交于點(diǎn)．

（1）若，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)為時(shí)，若四邊形的面積為12，試求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求函數(shù)的解析式，并證明：.

（2）已知，且函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，都有（）成立，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線(為參數(shù))，曲線(為參數(shù))．

（1）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求劣弧的弧長(zhǎng)；

（2）若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值，及點(diǎn)坐標(biāo).

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