Question

【題目】（1）已知雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離是3，求這個橢圓的離心率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 ，先利用雙曲線的的定義求出，再利用與橢圓共焦點(diǎn)可得到，進(jìn)而可求出，即可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離是3，可得：，又，解出，即可得橢圓的離心率．

解：（1）因為橢圓方程中，

，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 ，

因為曲線過點(diǎn) ，

所以 ，

又，

所以即，

所以，又

所以，

所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 ；

（2）由橢圓，可知橢圓焦點(diǎn)在軸，

即 ，

因為橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離是3，

由橢圓定義可得：①，

又因為②，

由①②解得 ，

所以橢圓的離心率．