Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，左、右頂點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，橢圓上任意一點(diǎn)（不與重合）與連線的斜率乘積均為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，試問(wèn)：四邊形可否為菱形？并請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是.

【解析】

（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為可得，然后結(jié)合求得的值，從而得到橢圓方程；

（2）根據(jù)以及橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得為平行四邊形，其對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)，設(shè)出直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，故要使四邊形為菱形，則，利用向量表示出，整理可得，解方程則可得到答案。

（1）由題意，，則，。設(shè)，則點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為，點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為，故，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故有，聯(lián)立解得，

則橢圓的方程為.

（2）由于點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且，故關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以四邊形為平行四邊形；由（1），知，易知直線不能平行于軸.所以令直線的方程為，設(shè)，.聯(lián)立方程，得，所以，.若是菱形，則，即，于是有，整理得到，即，上述關(guān)于的方程顯然沒(méi)有實(shí)數(shù)解，故四邊形不可能是菱形.