若函數(shù)滿足:在定義域內(nèi)存在實數(shù)
,使
(k為常數(shù)),則稱“f(x)關(guān)于k可線性分解”.
(Ⅰ)函數(shù)是否關(guān)于1可線性分解?請說明理由;
(Ⅱ)已知函數(shù)關(guān)于
可線性分解,求
的取值范圍;
(Ⅲ)證明不等式:.
(Ⅰ)是關(guān)于1可線性分解;(Ⅱ)a的取值范圍是;(Ⅲ)詳見解析.
解析試題分析:(Ⅰ)函數(shù)是否關(guān)于1可線性分解,關(guān)鍵是看是否存在
使得
成立,若成立,是關(guān)于1可線性分解,否則不是關(guān)于1可線性分解,故看
是否有解,構(gòu)造函數(shù)
,看它是否有零點,而
,觀察得
,
,有根的存在性定理可得存在
,使
;(Ⅱ)先確定定義域為
,函數(shù)
關(guān)于
可線性分解,即存在
,使
,即
有解,整理得
有解,即
,從而求出
的取值范圍;(Ⅲ)證明不等式:
,當(dāng)
時,
,對
求導(dǎo),判斷最大值為
,可得
,分別令
,疊加可得證結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)的定義域是R,若是關(guān)于1可線性分解,
則定義域內(nèi)存在實數(shù),使得
.
構(gòu)造函數(shù).
∵,
且
在
上是連續(xù)的,
∴在
上至少存在一個零點.
即存在,使
. 4分
(Ⅱ)的定義域為
.
由已知,存在,使
.
即.
整理,得,即
.
∴,所以
.
由且
,得
.
∴a的取值范圍是. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,a =1,,
.
當(dāng)時,
,所以
的單調(diào)遞增區(qū)間是
,當(dāng)
時,
,所以
的單調(diào)遞減區(qū)間是
,因此
時,
的最大值為
,所以
,即
,因此得:
,
,
,
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(
).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
⑵如果是曲線
上的任意一點,若以
為切點的切線的斜率
恒成立,求實數(shù)
的最小值;
⑶討論關(guān)于的方程
的實根情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若1是函數(shù)的一個零點,求函數(shù)
的解析表達(dá)式;
(2)試討論函數(shù)的零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
函數(shù),過曲線
上的點
的切線方程為
.
(1)若在
時有極值,求
的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,求在[-3,1]上的最大值;
(3)若函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知定義在上的函數(shù)
,其中
為常數(shù).
(1)當(dāng)是函數(shù)
的一個極值點,求
的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時,若
,在
處取得最大值,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線
在點
處的切線方程;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若在區(qū)間
上恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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