Question

【題目】已知

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）由函數(shù)，求得，通過討論實(shí)數(shù)的取值范圍，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）構(gòu)造函數(shù)，與圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，問題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可作出證明.

詳解：（1）∵，∴

當(dāng)時(shí)，∴，

即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，∴，

由，得，

時(shí)，，

時(shí)，，

∴時(shí)，易知的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為，

（2）由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

不妨設(shè)，由條件知，即

構(gòu)造函數(shù)，與圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

由可得

而，∴

知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

可知

欲證，只需證，即證，

考慮到在上遞增，只需證

由知，只需證

令 ，

則

，

所以為增函數(shù)，又，

結(jié)合知，即成立，

即成立.