Question

【題目】設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），， .

（1）若，且直線分別與函數(shù)和的圖象交于，求兩點間的最短距離；

（2）若時，函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）的取值范圍是.

【解析】試題分析：

(1)由題意求得PQ長度的函數(shù)解析式，然后利用導函數(shù)可得.

(2) 令，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和恒成立的條件可得的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）因為，所以.令，即，因為，當時， ， ，所以，所以在上遞增，所以，∴時， 的最小值為，所以.

（Ⅱ）令，

則， ，因為當時恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當時恒成立；

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在時恒成立.

當時， ， 在單調(diào)遞增，即.

故時恒成立.

當時，因為在單調(diào)遞增，所以總存在，使在區(qū)間上，導致在區(qū)間上單調(diào)遞減，而，所以當時， ，這與對恒成立矛盾，所以不符合題意，故符合條件的的取值范圍是.