Question

【題目】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中的公差不為.設(shè)是數(shù)列

的前項(xiàng)和.若、、是數(shù)列的前項(xiàng)，且.

（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若數(shù)列為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)；

（Ⅲ）構(gòu)造數(shù)列，，，，，，，，，…，，，，，…，，…，

若該數(shù)列前項(xiàng)和，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)或;(Ⅲ)34.

【解析】試題分析：

(1)由題意列出方程組求得數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則其通項(xiàng)公式為，進(jìn)一步即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為

(2)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)列出方程組，求解方程組可得或;

(3)結(jié)合題意分組求和得到關(guān)于m的方程，解方程討論可得.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），由、、是數(shù)列的前項(xiàng)，且

得，因?yàn)?/span>，所以，故的通項(xiàng)公式為；而，，所以等比數(shù)列的公比，

的通項(xiàng)公式為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以可設(shè)，，，

所以即對總成立，不妨設(shè)，，，

則對總成立，取，

，得，解得，即，

解得或．令．

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以為等差數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以為等差數(shù)列．

綜上，或．

另解：由（Ⅰ）知，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，，必成等差數(shù)列，所以，即，解得或．

令．

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以為等差數(shù)列；

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以為等差數(shù)列．

綜上，或．

（Ⅲ）設(shè)從到各項(xiàng)的和為，則

因?yàn)?/span>，所以

，因此

．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，可設(shè) 后面有項(xiàng)，則，所以，，因此

，即的值為．