【題目】已知橢圓:
的左右焦點(diǎn)分別為
,
,左頂點(diǎn)為
,點(diǎn)
在橢圓
上,且
的面積為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點(diǎn)且與
軸不重合的直線交橢圓
于
,
兩點(diǎn),直線
分別與
軸交于點(diǎn)
,
,.求證:以
為直徑的圓恒過交點(diǎn)
,
,并求出
面積的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)點(diǎn)在橢圓
上,且△
的面積為
,結(jié)合性質(zhì)
,列出關(guān)于
、
、
的方程組,求出
、
、
,即可得橢圓
的方程;(Ⅱ)直線
的方程為
,設(shè)點(diǎn)
(不妨設(shè)
),則點(diǎn)
,由
,消去
得
,所以
,
,可證明
,
,同理
,則以
為直徑的圓恒過焦點(diǎn)
,
,可得
,進(jìn)而可得結(jié)果.
試題解析:(Ⅰ),
,
又點(diǎn)在橢圓
上,
,
,
解得,或
(舍去),又
,
,
所以橢圓的方程為
;
(Ⅱ),
,
,
方法一:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),
,
為短軸的兩個(gè)端點(diǎn),則
,
,
,
,則以
為直徑的圓恒過焦點(diǎn)
,
,
當(dāng)的斜率存在且不為零,設(shè)直線
的方程為
,
設(shè)點(diǎn)(不妨設(shè)
),則點(diǎn)
,
由,消去
得
,所以
,
,
所以直線的方程為
,
因?yàn)橹本與
軸交于點(diǎn)
,令
得
,
即點(diǎn),同理可得點(diǎn)
,
,
,
,同理
,
則以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)
,
,
當(dāng)的斜率存在且不為零時(shí),
,
△
面積為
,
又當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),
,△
面積為
,
△
面積的取值范圍是
.
方法二:當(dāng),
不為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),設(shè)
,
則,由點(diǎn)
在橢圓
上,
,
所以直線的方程為
,令
得
,
即點(diǎn),同理可得點(diǎn)
,
以為直徑的圓可化為
,
代入,化簡得
,
令解得
以
為直徑的圓恒過焦點(diǎn)
,
,
,又
,
,
△
面積為
,
當(dāng),
為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),
,△
面積為
,
△
面積的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為
,直線l的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程;
(2)若Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),M為線段PQ的中點(diǎn),直線l上有兩點(diǎn)A,B,始終滿足|AB|=4,求△MAB面積的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知棱
,
,
兩兩垂直,長度分別為1,2,2.若
(
),且向量
與
夾角的余弦值為
.
(1)求的值;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
,依次連接
的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為40.
(1)試求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若曲線M上任意一點(diǎn)到的右焦點(diǎn)的距離與它到直線
的距離相等,直線
經(jīng)過
的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),
,直線
與曲線M相交于點(diǎn)P、Q(點(diǎn)P在第一象限內(nèi),點(diǎn)Q在第四象限內(nèi)),設(shè)
的下頂點(diǎn)是B,上頂點(diǎn)是D,且
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù)f(x)對x∈R均有f(x)+2f(﹣x)=mx﹣6,若f(x)≥lnx恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若點(diǎn)
在
的圖像上運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)
在
的圖象上運(yùn)動(dòng)
(1)求的最小值,及相應(yīng)的
值
(2)求函數(shù)的解析式,指出其定義域
,判斷并證明
在
上的單調(diào)性
(3)在函數(shù)和
的圖象上是否分別存在點(diǎn)
關(guān)于直線
對稱,若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的右焦點(diǎn)為
,過點(diǎn)
的直線(不與
軸重合)與橢圓
相交于
,
兩點(diǎn),直線
:
與
軸相交于點(diǎn)
,過點(diǎn)
作
,垂足為D.
(1)求四邊形(
為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍;
(2)證明直線過定點(diǎn)
,并求出點(diǎn)
的坐標(biāo).
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