【題目】已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，，.求證：以為直徑的圓恒過交點(diǎn)，，并求出面積的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，且△的面積為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（Ⅱ）直線的方程為，設(shè)點(diǎn)（不妨設(shè)），則點(diǎn)，由，消去得，所以，，可證明，，同理，則以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，，可得，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ），，

又點(diǎn)在橢圓上，，，

解得，或（舍去），又，，

所以橢圓的方程為；

（Ⅱ），，，

方法一：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則，， ，，則以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，，

當(dāng)的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，

設(shè)點(diǎn)（不妨設(shè)），則點(diǎn)，

由，消去得，所以，，

所以直線的方程為，

因?yàn)橹本�與軸交于點(diǎn)，令得，

即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，

，，

，同理，

則以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，，

當(dāng)的斜率存在且不為零時(shí)，

，

△面積為，

又當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，△面積為，

△面積的取值范圍是．

方法二：當(dāng)，不為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，設(shè)，

則，由點(diǎn)在橢圓上， ，

所以直線的方程為，令得，

即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，

以為直徑的圓可化為，

代入，化簡得，

令解得

以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，，

，又，,

△面積為，

當(dāng)，為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，，△面積為，

△面積的取值范圍是．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為O，且平面．

（1）證明：；

（2）若，，，求到平面ABC的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為.

(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；

(2)若Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，直線l上有兩點(diǎn)A，B，始終滿足|AB|＝4，求△MAB面積的最大值與最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直，長度分別為1，2，2.若（），且向量與夾角的余弦值為.

（1）求的值；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，依次連接的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為40.

（1）試求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若曲線M上任意一點(diǎn)到的右焦點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，直線經(jīng)過的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，，直線與曲線M相交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，點(diǎn)Q在第四象限內(nèi)），設(shè)的下頂點(diǎn)是B，上頂點(diǎn)是D，且，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知函數(shù)f（x）對x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6，若f（x）≥lnx恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若點(diǎn)在的圖像上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng)

（1）求的最小值，及相應(yīng)的值

（2）求函數(shù)的解析式，指出其定義域，判斷并證明在上的單調(diào)性

（3）在函數(shù)和的圖象上是否分別存在點(diǎn)關(guān)于直線對稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線：與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為D.

（1）求四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍；

（2）證明直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案