Question

【題目】（12分）

已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在拋物線上，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn).

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程以及的值.

（2）記拋物線的準(zhǔn)線軸交于點(diǎn)H，試問是否存在常數(shù)，使得，且都成立.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）或.

【解析】試題分析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，可求得的值，即可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可求得，再根據(jù)拋物線的定義即可求得的值；（2）設(shè)：，，，聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得與的值，再根據(jù)，可得與的關(guān)系，再將化簡(jiǎn)，即可求得的值.

試題解析：(1)依題意得橢圓的焦點(diǎn)為，即，故，則，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將代入，得，故.

(2)設(shè)，聯(lián)立，得，所以，

又，且，則，即，代入式，得

，消去，得.

又，故 .

由，解得或（舍去），故或.

即存在滿足條件，且的值為或.