Question

【題目】已知函數(shù)為常數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（2）當時，設的兩個極值點恰為的零點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，討論導函數(shù)符號變化規(guī)律：當時，導函數(shù)不變號，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.當時，導函數(shù)符號由正變負，即單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，（2）先求導數(shù)得為方程的兩根，再求導數(shù)得，因此，而由為的零點，得,兩式相減得,即得，因此，從而，其中根據(jù)韋達定理確定自變量范圍：因為

又，所以

試題解析：（1），當時，由解得,即當時，單調(diào)遞增， 由解得,即當時，單調(diào)遞減,當時，,即在上單調(diào)遞增,當時，故，即在上單調(diào)遞增,所以當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）,則,所以的兩根 即為方程的兩根. 因為,所以,又因為為的零點，所以,兩式相減得,得,而,

所以

令,由得

因為,兩邊同時除以，得，因為，故，解得或，所以，設，所以，則在上是減函數(shù)，所以，即的最小值為.