【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x>0時,f(x)<0,又f(1)=-.
(1)求證:f(x)為奇函數(shù);
(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù);
(3)求f(x)在[-3,6]上的最大值與最小值.
【答案】(1)詳見解析 (2)詳見解析 (3)最大值為2,最小值為-4
【解析】
(1)證明:令x=y=0,可得f(0)+f(0)=f(0+0),從而f(0)=0.令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).
(2)證明:設x1、x2∈R,且x1>x2,則x1-x2>0,于是f(x1-x2)<0.從而f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)<0.所以f(x)為減函數(shù).
(3)解:由(2)知,所求函數(shù)的最大值為f(-3),最小值為f(6).f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]=-2f(1)-f(1)=-3f(1)=2,f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]=-4.于是f(x)在[-3,6]上的最大值為2,最小值為-4
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在四棱錐中,
平面
,點
在棱
上,且
,底面為直角梯形,
分別是
的中點.
(1)求證://平面
;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值;
(3)求點到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕,當天每售出個利潤為
元,未售出的每個虧損
元.根據(jù)以往
天的統(tǒng)計資料,得到如下需求量表,元旦這天,此蛋糕店制作了
個這種蛋糕.以
(單位:個,
)表示這天的市場需求量.
(單位:元)表示這天售出該蛋糕的利潤.
需求量/個 | |||||
天數(shù) | 10 | 20 | 30 | 25 | 15 |
(1)將表示為
的函數(shù),根據(jù)上表,求利潤
不少于
元的概率;
天的平均需求量(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);
(3)元旦這天,該店通過微信展示打分的方式隨機抽取了名市民進行問卷調查,調查結果如下表所示,已知在購買意愿強的市民中,女性的占比為
.
購買意愿強 | 購買意愿弱 | 合計 | |
女性 | 28 | ||
男性 | 22 | ||
合計 | 28 | 22 | 50 |
完善上表,并根據(jù)上表,判斷是否有的把握認為市民是否購買這種蛋糕與性別有關?
附: .
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)對一種新品種小麥在一塊試驗田進行試種.從試驗田中抽取株小麥,測量這些小麥的生長指標值,由測量結果得如下頻數(shù)分布表:
生長指標值分組 | |||||||
頻數(shù) |
(1)在相應位置上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(2)求這株小麥生長指標值的樣本平均數(shù)
和樣本方差
(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)由直方圖可以認為,這種小麥的生長指標值服從正態(tài)分布
,其中
近似為樣本平均數(shù)
,
近似為樣本方差
.
①利用該正態(tài)分布,求;
②若從試驗田中抽取株小麥,記
表示這
株小麥中生長指標值位于區(qū)間
的小麥株數(shù),利用①的結果,求
.
附: .
若,則
,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市2011年至2017年新開樓盤的平均銷售價格(單位:千元/平方米)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷售價格 | 3 | 3.4 | 3.7 | 4.5 | 4.9 | 5.3 | 6 |
(1)求關于x的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2011年至2017年該市新開樓盤平均銷售價格的變化情況,并預測該市2019年新開樓盤的平均銷售價格。
附:參考公式: ,
,其中
為樣本平均值。
參考數(shù)據(jù):
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AD∥BC,AD=2BC=2,BC⊥DC,∠BAD=60°,平面PAD⊥底面ABCD,E為AD的中點,△PAD為正三角形,M是棱PC上的一點(異于端點).
(1)若M為PC的中點,求證:PA∥平面BME;
(2)是否存在點M,使二面角MBED的大小為30°.若存在,求出點M的位置;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f (x)=ln x+x2-ax(a為常數(shù)).
(1)若x=1是函數(shù)f (x)的一個極值點,求a的值;
(2)當0<a≤2時,試判斷f (x)的單調性;
(3)若對任意的a∈(1,2),x0∈[1,2],不等式f (x0)>mln a 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面
是矩形,
平面
,
.過
的中點
作
于點
,連接
,
.
(Ⅰ)證明:平面
;
(Ⅱ)若平面與平面
所成的銳二面角的余弦值為
,求
的長.
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