Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍.

（2）對(duì)任意，總存在唯一的，使得成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）討論與的大小去掉絕對(duì)值，然后分類(lèi)討論討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)研究函數(shù)在，的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，使的最小值恒大于等于，求出的取值范圍；

（2）根據(jù)（1）的分類(lèi)討論求出函數(shù)的最小值，使的最小值恒小于等于的最小值，從而求出的取值范圍．

（1）①當(dāng)時(shí)，，，，恒成立，

在，上增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，（e）

②當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間，上為增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，，且此時(shí)

當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在間，時(shí)為正數(shù)，

所以在區(qū)間，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，

且此時(shí)（e）

當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間，上為減函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，（e）

綜上所述，函數(shù)的最小值為

所以當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，得不成立．

綜上，所求的取值范圍是

（2）①當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，需滿(mǎn)足，

解得

②當(dāng)時(shí)，在，先減后增，需滿(mǎn)足，即

因?yàn)?/span>單調(diào)遞減，所以

因此

③當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，在，遞增，

所以需滿(mǎn)足，即，

設(shè)，

則，，所以遞增，且，

所以恒成立，即不成立，舍去．

④當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，在，遞增，

所以需滿(mǎn)足即，

因?yàn)?/span>，所以不成立，舍去．

綜上，所求的取值范圍是