Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
已知F1、F2分別是雙曲線(xiàn)x2-y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線(xiàn)l：y＝kx+b  (b>0)與圓O相切，并與雙曲線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn).
（1）根據(jù)條件求出b和k滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）向量在向量方向的投影是p，當(dāng)(×)p2＝1時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（3）當(dāng)(×)p2=m且滿(mǎn)足2≤m≤4時(shí)，求DAOB面積的取值范圍.

Answer 1

（1）b2="2(k2+1) " (k¹±1,b>0)
（2）y=±x+
（3）[3]

解：（1）b和k滿(mǎn)足的關(guān)系式為b2="2(k2+1) " (k¹±1,b>0)  …………3分
（2）設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2)，則由消去y
得(k2-1)x2+2kbx+b2+1=0，其中k2¹1        …………4分
∴×="x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=" + + 2(k2+1)
由于向量方向上的投影是p
∴p2=cos2<,>=              …………6分
∴(×)×p2= + +2=1Þk=±
∵b2=" 2(k2+1) " (k¹±1,b>0)， 故b=，經(jīng)檢驗(yàn)適合D＞0
∴直線(xiàn)l的方程為y=±x+             …………8分
（3）類(lèi)似于（Ⅱ）可得+ +2=m
∴k2="1+" ， b2="4+" 根據(jù)弦長(zhǎng)公式
得 …………10分
則SDAOB= |AB|×=
而mÎ[2,4]，∴DAOB的面積的取值范圍是[3] …………12分