【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若,求曲線在點處的切線方程;

（Ⅱ）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅲ）若,求證: .

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出求出的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅲ） ,等價于,等價于，設(shè),只須證成立，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出的最小值，證明最小值大于零即可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）若,則,,

所以在點處的切線方程為.

（Ⅱ）

令,則.

令,得 (依題意)

由,得;由,得.

所以, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,

因為,所以.

所以,即.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（Ⅲ）由,等價于,

等價于.

設(shè),只須證成立.

因為

由,得有異號兩根.

令其正根為,則.

在上,在上

則的最小值為

又

所以則

因此即所以.所以.

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.

練習冊系列答案
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（Ⅰ）若函數(shù)g（kx2+2x+1）的定義域為R，求實數(shù)k的取值范圍；

（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；

（Ⅲ）定義在I上的函數(shù)F（x），如果滿足：對任意x∈I，總存在常數(shù)M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，則稱函數(shù)F（x）是I上的有界函數(shù)，其中M為函數(shù)F（x）的上界．若函數(shù)h（x）=，當m≠0時，探求函數(shù)h（x）在x∈[0，1]上是否存在上界M，若存在，求出M的取值范圍，若不存在，請說明理由．

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【題目】如圖，四棱臺中， 底面，平面平面為的中點.

（1）證明： ；

（2）若，且，求二面角的正弦值.

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【題目】已知函數(shù)， .

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；

（3）當時，若方程在區(qū)間上有唯一解，求的取值范圍.

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【題目】如圖，在四棱錐P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD, AB⊥BC, AD//BC, AD=3,PA=BC=2AB=2,

PB＝．

(Ⅰ)求證：BC⊥PB;

(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值；

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④是區(qū)間（0,2）內(nèi)的增函數(shù).

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【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍．

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