Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，，以，，和為頂點的梯形的高為，面積為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)，為橢圓上的任意兩點，若直線與圓相切，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由梯形的高求出，由梯形的面積，建立關(guān)于方程，結(jié)合關(guān)系，即可求出橢圓標準方程；

（2）設(shè)直線的方程為：，利用直線與圓相切，得到關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，得出關(guān)系，由相交弦長公式，求出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征，求出其范圍，再由，即可求出結(jié)論.

（1）由題意，得，且，

∴，又，解得，．

∴橢圓的方程為．

（2）如圖，設(shè)，，

當圓的切線的斜率存在時，設(shè)的方程為：，

切點為，連結(jié)，則．

因為與圓相切，

所以，所以．

聯(lián)立，整理得．

所以，．

又

．

①若時，

．

因為，

當且僅當時，“”成立．

所以

即．

②當時，，所以．

又，

所以．

當圓的切線斜率不存在時，則的方程為或．

此時，的坐標分別為，或，．此時．

綜上，面積的取值范圍為．