【題目】已知橢圓，且橢圓C上恰有三點在集合中.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點O為坐標原點，直線AB與橢圓交于A、B兩點，且滿足，試探究：點O到直線AB的距離是否為定值.如果是，請求出定值：如果不是，請明說理由.

（3）在（2）的條件下，求面積的最大值.

【答案】（1）（2）點O到直線AB的距離為定值（3）

【解析】

（1）利用橢圓的對稱性得橢圓必過和，結合橢圓過點，求得的值，從而得到橢圓的方程；

（2）設，，對直線的斜率進行討論，當斜率存在時設為，

由得，代入點到直線的距離公式可得答案；

（3）將弦表示成關于的函數(shù)，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面積公式，求得三角形面積的最大值.

（1）和關于原點對稱，故由題意知，橢圓C必過此兩點

，又當橢圓過點時，，∴，

此時滿足，符合題意.

所以橢圓.

又當橢圓過點時，，∴，

此時，不符合題意.

綜上：橢圓.

（2）設，，若斜率存在，則設直線，

由，得，

，

由知，

，

代入得，

又原點到直線AB的距離，

且當AB的斜率不存在時，，可得，依然成立.

所以點O到直線AB的距離為定值.

（3）由（2）知，

由（2）知，，

；

因為，當且僅當，即時等號成立.

所以；

易知當AB斜率不存在時，，所以，

綜上得的面積的最大值為.

練習冊系列答案
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（2）求所有到定點的“距離”均為2的動點圍成的圖形的周長；

（3）在“歐式幾何學”中有如下三個與“距離”有關的正確結論：

①平面上任意三點A，B，C，；

②平面上不在一直線上任意三點A，B，C，若，則是以為直角三角形

③平面上存在兩個不同的定點A，B，若動點P滿足，則動點P的軌跡是的垂直平分線

上述結論對于“出租車幾何學”中的直角距離是否還正確，并說明理由.

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【題目】如圖是甲、乙、丙三個企業(yè)的產品成本（單位：萬元）及其構成比例，則下列判斷正確的是（　�。�

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B. 由于丙企業(yè)生產規(guī)模大，所以它的其他費用開支所占成本的比重也最大

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產品：

投資結果

獲利

不賠不賺

虧損

概率

產品：

投資結果

獲利

不賠不賺

虧損

概率

注：

（1）若甲、乙兩人分別選擇了產品投資，一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若丙要將20萬元人民幣投資其中一種產品，以一年后的投資收益的期望值為決策依據(jù)，則丙選擇哪種產品投資較為理想.

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