【題目】某景區(qū)欲建兩條圓形觀景步道(寬度忽略不計),如圖所示,已知
,
(單位:米),要求圓M與
分別相切于點B,D,圓
與
分別相切于點C,D.
(1)若,求圓
的半徑;(結果精確到0.1米)
(2)若觀景步道的造價分別為每米0.8千元與每米0.9千元,則當
多大時,總造價最低?最低總造價是多少?(結果分別精確到0.1°和0.1千元)
【答案】(1)34.6米,16.1米;(2)263.8千元.
【解析】
(1)利用切線的性質即可得出圓的半徑;
(2)設∠BAD=2α,則總造價y=0.82π60tanα+0.92π60tan(45°﹣α),化簡,令1+tanα=x換元,利用基本不等式得出最值.
(1)連結M1M2,AM1,AM2,
∵圓M1與AB,AD相切于B,D,圓M2與AC,AD分別相切于點C,D,
∴M1,M2⊥AD,∠M1AD=∠BAD=
,∠M2AD=
,
∴M1B=ABtan∠M1AB=60×=20
≈34.6(米),
∵tan=
=
,∴tan
=2﹣
,
同理可得:M2D=60×tan=60(2﹣
)≈16.1(米).
(2)設∠BAD=2α(0<α<),由(1)可知圓M1的半徑為60tanα,圓M2的半徑為
60tan(45°﹣α),
設觀景步道總造價為y千元,則y=0.82π60tanα+0.92π60tan(45°﹣α)=96πtanα+108π,
設1+tanα=x,則tanα=x﹣1,且1<x<2.
∴y=96π(x﹣1)+108π()=12π(8x+
﹣17)≥84π≈263.8,
當且僅當8x=即x=
時取等號,
當x=時,tanα=
,∴α≈26.6°,2α≈53.2°.
∴當∠BAD為53.2°時,觀景步道造價最低,最低造價為263.8千元.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知是拋物線
上任意一點,
,且點
為線段
的中點.
(Ⅰ)求點的軌跡
的方程;
(Ⅱ)若為點
關于原點
的對稱點,過
的直線交曲線
于
、
兩點,直線
交直線
于點
,求證:
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線(
),點
在
的焦點
的右側,且
到
的準線的距離是
到
距離的3倍,經過點
的直線與拋物線
交于不同的
、
兩點,直線
與直線
交于點
,經過點
且與直線
垂直的直線
交
軸于點
.
(1)求拋物線的方程和
的坐標;
(2)判斷直線與直線
的位置關系,并說明理由;
(3)橢圓的兩焦點為
、
,在橢圓
外的拋物線
上取一點
,若
、
的斜率分別為
、
,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=ln+ax﹣1(a≠0).
(I)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)已知g(x)+xf(x)=﹣x,若函數g(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),求證:g(x1)<0.
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【題目】如圖,已知圓:
(
)和雙曲線
:
(
),記
與
軸正半軸、
軸負半軸的公共點分別為
、
,又記
與
在第一、第四象限的公共點分別為
、
.
(1)若,且
恰為
的左焦點,求
的兩條漸近線的方程;
(2)若,且
,求實數
的值;
(3)若恰為
的左焦點,求證:在
軸上不存在這樣的點
,使得
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右點分別為
點
在橢圓上,且
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(1,0)作斜率為的直線
交橢圓
于M、N兩點,若
求直線
的方程;
(3)點P、Q為橢圓上的兩個動點,為坐標原點,若直線
的斜率之積為
求證:
為定值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如果數列對于任意
,都有
,其中
為常數,則稱數列
是“間等差數列”,
為“間公差”.若數列
滿足
,
,
.
(1)求證:數列是“間等差數列”,并求間公差
;
(2)設為數列
的前n項和,若
的最小值為-153,求實數
的取值范圍;
(3)類似地:非零數列對于任意
,都有
,其中
為常數,則稱數列
是“間等比數列”,
為“間公比”.已知數列
中,滿足
,
,
,試問數列
是否為“間等比數列”,若是,求最大的整數
使得對于任意
,都有
;若不是,說明理由.
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