Question

【題目】在四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，點(diǎn)分別為中點(diǎn).

（1）求證：平面.

（2）若.

①求二面角的余弦值.

②求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，②

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，可證都與平面平行，從而得面面平行，又得證線面平行；

（2）①證明后，以以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，由法向量夾角得二面角，②由以上證明可得與平面垂直，因此棱錐換底求體積，即．

（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，∵四邊形是矩形，點(diǎn)分別為中點(diǎn).

∴，

平面，平面，

∴平面，同理平面，

∵，∴平面平面，

∵平面，∴平面.

（2）①解：∵

，∴，∴，

∵四邊形是矩形，平面平面，

∴以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，

設(shè)平面的法向量，則，取，得，

設(shè)平面的法向量，則，取，得，

設(shè)二面角的平面角為，則.

∴二面角的余弦值為.

②解：∵，∴平面，∴到平面的距離，

，

∴三棱錐的體積：.