Question

【題目】已知數列{an}滿足：a1= ，a2= ，2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N），數列{bn}滿足：b1＜0，3bn﹣bn﹣1=n（n≥2，n∈R），數列{bn}的前n項和為Sn ．
（1）求證：數列{bn﹣an}為等比數列；
（2）求證：數列{bn}為遞增數列；
（3）若當且僅當n=3時，Sn取得最小值，求b1的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2an=an+1+an﹣1（n≥2，n∈N），

∴{an}是等差數列．

又∵a1= ，a2= ，

∴ ，

∵ ，（n≥2，n∈N*），

∴bn+1﹣an+1=

= =

= ．

又∵ ，

∴{bn﹣an}是以 為首項，以 為公比的等比數列．

（2）證明：∵bn﹣an=（b1﹣ ）（ ）n﹣1， ．

∴ ．

當n≥2時，bn﹣bn﹣1= ．

又b1＜0，∴bn﹣bn﹣1＞0．

∴{bn}是單調遞增數列．

（3）解：∵當且僅當n=3時，Sn取最小值．

∴ ，即 ，

∴b1∈（﹣47，﹣11）

【解析】（1）由已知得{an}是等差數列， ，bn+1﹣an+1= = ．由此能證明{bn﹣an}是以 為首項，以 為公比的等比數列．（2）由 ．得當n≥2時，bn﹣bn﹣1= ．由此能證明{bn}是單調遞增數列．（3）由已知得 ，由此能求出b1的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．