Question

【題目】設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截的弦長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）記橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式即可求解.

(2)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組設(shè)、

，利用韋達(dá)定理，即可得出的中點(diǎn)為，然后，利用線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，即可求解

解：（1）以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，

直線被圓截的弦長(zhǎng)為，解得，

又橢圓的離心率為，所以，

所以，橢圓的方程為

（2）依題意，，直線的方程為．

聯(lián)立方程組消去并整理得．

，

設(shè)、，故，，

設(shè)的中點(diǎn)為，則．

因?yàn)榫€段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，

①當(dāng)時(shí)，那么；

②當(dāng)時(shí)，，即．

解得．

因?yàn)?/span>，所以，，即．

綜上，的取值范圍為．