Question

已知復數(shù)z₁=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z₂=2+4i且．
（1）若復數(shù)z₁對應的點M（m，n）在曲線上運動，求復數(shù)z所對應的點P（x，y）的軌跡方程；
（2）將（1）中的軌跡上每一點按向量方向平移個單位，得到新的軌跡C，求C的軌跡方程；
（3）過軌跡C上任意一點A（異于頂點）作其切線，交y軸于點B，求證：以線段AB為直徑的圓恒過一定點，并求出此定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)復數(shù)條件求出關系式，結合復數(shù)z₁對應的點M（m，n）在曲線上運動即可得出復數(shù)z所對應的點P（x，y）的軌跡方程；
（2）先按向量方向平移個單位得到即為向 x 方向移動 1×=個單位，向 y 方向移動 1×1=1 個單位，再進行函數(shù)式的變換即可得出C的軌跡方程；
（3）設A（x，y），斜率為k，切線y-y=k（x-x） 代入（y+6）²=-2x-3消去x得到關于y的一元二次方程，再結合根的判別式為0利用向量的數(shù)量即可求得定點，從而解決問題．
解答：解：（1）∵i-z₂=（m-ni）•i-（2+4i）=（n-2）+（m-4）i；
∴⇒．
∵復數(shù)z₁對應的點M（m，n）在曲線上運動
∴x+2=-（y+7）²-1⇒（y+7）²=-2（x+3）．
復數(shù)z所對應的點P（x，y）的軌跡方程：（y+7）²=-2（x+3）．
（2）∵按向量方向平移個單位，==1×．
即為向 x 方向移動 1×=個單位，向 y 方向移動 1×1=1 個單位
（y+7）²=-2（x+3）⇒y+7=±．
得軌跡方程 y+7=±⇒（y+6）²=-2（x+）=-2x-3．
C的軌跡方程為：（y+6）²=-2x-3．
（3）設A（x，y），斜率為k，切線y-y=k（x-x） （k≠0），
代入（y+6）²=-2x-3整理得：
（y+6）²=-2（）-3，△=0⇒k=，
設定點M（1，0），且．
∴以線段AB為直徑的圓恒過一定點M，M點的坐標（1，0）．
點評：本小題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，本題巧妙地把點的軌跡方程和復數(shù)有機地結合在一起，解題時要注意復數(shù)的合理運用．