【題目】設(shè)動點到定點
的距離比它到
軸的距離大
,記點
的軌跡為曲線
.
(1)求點的軌跡方程;
(2)若圓心在曲線上的動圓
過點
,試證明圓
與
軸必相交,且截
軸所得的弦長為定值.
【答案】(1) ;(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)拋物線定義判斷點的軌跡,再根據(jù)拋物線幾何條件求標準方程,(2)結(jié)合題意設(shè)出圓心
的坐標,并根據(jù)圓過點A得到圓的標準方程,在圓方程中令
后可得關(guān)于x的二次方程,根據(jù)此方程判別式可判斷圓與x軸相交,同時并根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求出弦長.
試題解析:(1)依題意知,動點到定點
的距離等于
到直線
的距離,
∴曲線是以原點為頂點,
為焦點的拋物線.
設(shè)曲線C的方程為,
則, ∴
,∴曲線
方程是
.
(2)
設(shè)圓心為,則
,
∵圓過
,∴圓的方程為
,
令得
.
∵∴圓
與
軸必相交,
設(shè)圓M與軸的兩交點分別為E
,G
則,
,
∴
,
∴=4.
故圓截軸所得的弦長為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在一個實數(shù),使得
成立,則稱
為函數(shù)
的一個不動點,設(shè)函數(shù)
(
,
為自然對數(shù)的底數(shù)),定義在
上的連續(xù)函數(shù)
滿足
,且當
時,
.若存在
,且
為函數(shù)
的一個不動點,則實數(shù)
的取值范圍為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+1+|3-x|,x≥-1.
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若f(x)的最小值為n,正數(shù)a,b滿足2nab=a+2b,求2a+b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖是某市11月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇11月1日至11月12日中的某一天到達該市,并停留3天.
(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率;
(2)設(shè)X是此人停留期間空氣重度污染的天數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在幾何體中,四邊形
是菱形,
平面
,
,且
,
.
(1)證明:平面平面
;
(2)若二面角是直二面角,求異面直線
與
所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 設(shè)函數(shù),
(1)當時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,曲線
與
有兩條公切線,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若對
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下間題:“今有甲、乙、丙、丁、戊五人分五餞,令上二人所得與下三人等,且五人所得錢按順序等次差,問各得幾何?”其意思為“甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢(錢:古代一種重量單位)?”這個問題中丙所得為( )
A. 錢 B.
錢 C. 1錢 D.
錢
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的公差
大于0,且
,
是方程
的兩根,數(shù)列
的前
項和為
,且
.
(1)求數(shù)列、
的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前
項和為
,試比較
與
的大小,并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)如圖,設(shè)直線將坐標平面分成
四個區(qū)域(不含邊界),若函數(shù)
的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內(nèi),判斷其所在的區(qū)域并求對應(yīng)的
的取值范圍;
(2)當時,求證:
且
,有
.
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