【題目】以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，.

（1）求橢圓及其“準圓”的方程；

（2）若橢圓的“準圓”的一條弦與橢圓交于、兩點，試證明：當時，弦的長為定值.

【答案】（1），；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)求得，再結(jié)合可得以及，即可解出，從而求出橢圓及其“準圓”的方程；

（2）先由弦軸時，求出原點到弦的距離，然后再證明弦不垂直于軸時，原點到弦的距離也為，根據(jù)弦長公式即可得到，即弦的長為定值．

（1）設橢圓的左焦點，

由得，

又，即，

且，所以，

則所求的橢圓的方程為，

橢圓的“準圓”方程為.

（2）證明：①當弦軸時，交點關(guān)于軸對稱，

又，則，

可設，得，

此時原點到弦的距離；

②當弦不垂直于軸時，設直線的方程為，

且與橢圓的交點，

聯(lián)列方程組，

代入消元得：，

由，

可得，

由得，

即，所以，

此時成立，

則原點到弦的距離，

綜上得，原點到弦的距離為，則，因此弦的長為定值．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)

討論的單調(diào)性；

若是的極值點，且曲線在兩點 處的切線相互平行，這兩條切線在軸上的截距分別為，求的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓O經(jīng)過橢圓C：=1（a＞b＞0）的兩個焦點以及兩個頂點，且點（b，）在橢圓C上．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點，且|MN|=，求直線l的傾斜角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知依次滿足

（1）求點的軌跡；

（2）過點作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】邊長為的等邊三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值，這個定值等于；將這個結(jié)論推廣到空間是：棱長為的正四面體內(nèi)任一點到各面距離之和等于________________.（具體數(shù)值）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

討論函數(shù)的單調(diào)性；

設，對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值；

求證：當時，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在，分數(shù)在以上（含）的同學獲獎. 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.

（1）求的值，并計算所抽取樣本的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過的把握認為“獲獎與學生的文理科有關(guān)”？

文科生

理科生

合計

獲獎

不獲獎

合計

附表及公式：

，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】40名學生某次數(shù)學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù) （保留小數(shù)點后兩位數(shù)字）和眾數(shù)；

（3）從成績在的學生中任選3人，求這3人的成績都在中的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）若，證明：；

（2）已知，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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