【題目】設橢圓的離心率為
,且過點
.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點
, 且
(
為坐標原點)?若存在,寫出該圓的方程;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)存在圓心在原點的圓
,使得該圓的任意一條切線與橢圓
恒有兩個交點
,且
.
【解析】試題分析:(1)由題目已知離心率為,且過點
即可求出橢圓方程(2)先假設存在,設兩個交點坐標和直線方程
,
,根據(jù)直線與圓相切及
,得出方程組,從而求解出結果,再討論斜率不存在時的情況
解析:(1)由已知得,又
,得
,解得
(2)假設滿足題意的圓存在,其方程為,其中
.
設該圓的任意一條切線和橢圓
交于
兩點
當直線的斜率存在時,令直線
的方程為
因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為①
聯(lián)立方程得
要使,需使
,即
,
所以,②
,
,所求的圓為
,
而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓
的兩個交點為
或
滿足
,
綜上,存在圓心在原點的圓,
使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點
,且
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示,城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標志,小李,小王設計的底座形狀分別為,
,經(jīng)測量
米,
米,
米,
(I)求的長度;
(Ⅱ)若環(huán)境標志的底座每平方米造價為元,不考慮其他因素,小李,小王誰的設計建造費用最低(請說明理由),最低造價為多少?(
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知兩點及
,點
在以
、
為焦點的橢圓
上,且
、
、
構成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設是過原點的直線,
是與n垂直相交于
點,與橢圓相交于
兩點的直線,
,是否存在上述直線
使
成立?若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:
的焦點為
,準線為
,三個點
,
,
中恰有兩個點在
上.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)過的直線交
于
,
兩點,點
為
上任意一點,證明:直線
,
,
的斜率成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的焦點在x軸上,焦距為,實軸長為2
(1)求雙曲線的標準方程與漸近線方程。
(2)若點 在該雙曲線上運動,且
,
,求以
,
為相鄰兩邊的平行四邊形
的頂點
的軌跡.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲袋中有1只黑球,3只紅球;乙袋中有2只黑球,1只紅球.
(1)從甲袋中任取兩球,求取出的兩球顏色不相同的概率;
(2)從甲,乙兩袋中各取一球,求取出的兩球顏色相同的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將五個1,五個2,五個3,五個4,五個5共25個數(shù)填入一個5行5列的表格內(每格填入一個數(shù)),使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過2,考查每行中五個數(shù)之和,記這五個和的最小值為,則
的最大值為( )
A. B. 9 C. 10 D. 11
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知是定義在
上的奇函數(shù),且
,若
且
時,有
成立.
(1)判斷在
上的單調性,并用定義證明;
(2)解不等式;
(3)若對所有的
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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