Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax有極值1，這里e是自然對數的底數．
（1）求實數a的值，并確定1是極大值還是極小值；
（2）若當x∈[0，+∞）時，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣a，∵函數f（x）=ex﹣ax有極值1，

∴存在x0，使得f′（x0）= ﹣a=0，f（x0）= ﹣ax0=1，

解得x0=0，a=1．

∴f′（x）=ex﹣1，可知：0是極小值點，因此1是極小值．

（2）解：當x∈[0，+∞）時，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立ex﹣x﹣1﹣mxln（x+1）≥0恒成立．

令g（x）=ex﹣（x+1），x≥0．g（0）=0．

則g′（x）=ex﹣1≥0，

∴x≥0時，函數g（x）單調遞增，因此g（x）≥g（0）=0，因此ex≥x+1．

①若mxln（x+1）+x+1≤x+1，則ex﹣x﹣1﹣mxln（x+1）≥0恒成立．

則mxln（x+1）≤0，可得：m≤0．

∴m≤0時，x≥0時，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立．

②m＞0時，x≥0時，mxln（x+1）+x+1≤ex．

令F（x）=mxln（x+1）+x+1﹣ex，（x≥0），F(xiàn)（0）=0．

由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤ex﹣x﹣1，

x=0時，化為0≤0，恒成立，m∈R．

x＞0時，化為：m≤ ．

下面證明： ≤ ．

令h（x）=2ex﹣2x﹣2﹣xln（x+1），h（0）=0．

h′（x）=2ex﹣2﹣ln（x+1）﹣ ．h′（0）=0．

h″（x）=2ex﹣ ﹣ ≥h″（0）=0，

∴h′（x）≥0．

∴函數h（x）在[0，+∞）上單調遞增，∴h（x）≥h（0）=0．

因此： ≤ 成立，并且 是其最小值．

∴m≤ ．

綜上可得：實數m的取值范圍是 ．

【解析】（1）f′（x）=ex﹣a，根據函數f（x）=ex﹣ax有極值1，可得存在x0，使得f′（x0）= ﹣a=0，f（x0）= ﹣ax0=1，解得x0，a．即可判斷出結論．（2）當x∈[0，+∞）時，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立ex﹣x﹣1﹣mxln（x+1）≥0恒成立．令g（x）=ex﹣（x+1），x≥0．g（0）=0．利用導數研究其單調性可得：ex≥x+1．①若mxln（x+1）+x+1≤x+1，則ex﹣x﹣1﹣mxln（x+1）≥0恒成立．可得：m≤0．②m＞0時，x≥0時，mxln（x+1）+x+1≤ex．令F（x）=mxln（x+1）+x+1﹣ex，（x≥0），F(xiàn)（0）=0．

由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤ex﹣x﹣1，x＞0時，化為：m≤ ．下面證明： ≤ ．利用導數研究其單調性即可得出．

【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．