Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù).

求函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出定義域；

設(shè)，判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性:

若中的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像是不間斷的光滑曲線，求證:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)(假設(shè)為)，且.

Answer 1

【答案】（1）；；

（2）在區(qū)間上是減函數(shù)，證明見(jiàn)解析；

（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)和得出，此范圍就是其反函數(shù)的定義域，再由，可解得，，再將互換得，從而得函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，則，，，可得，可得證；

（3）先判斷函數(shù)的奇偶性，再由（2）得出在上的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得證.

，，，，

又，，

由，得，，互換得，

，定義域

在區(qū)間上的單調(diào)遞減，證明如下：

由(1)可知，，且定義域?yàn)?/span>，

設(shè)，則，

，，

，

由得，即，

在區(qū)間上是減函數(shù)；

對(duì)任意，有，

所以，函數(shù)是奇函數(shù)，

由（2）得在區(qū)間上是減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的圖像也是不間斷的光滑曲線，

又

,

所以，根據(jù)零點(diǎn)存在定理得：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有唯一零點(diǎn)，

所以，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有唯一零點(diǎn)，且.

故得解.